Что представляют собой дифференциальные уравнения? Как они применяются в науке и какие проблемы помогают решить? 
младший научный сотрудник лаборатории гидроаэроупругости Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН кандидат физико-математических наук Алексей Игоревич Фурцев. 

Как известно, в современной науке, стремящейся к описанию наблюдаемых природных или общественных явлений, значительная роль принадлежит математике. Теория дифференциальных уравнений, являясь одним из крупных разделов математики, в то же время всегда была и остается тесно связанной с приложениями. 

Рассматривая математику как способ проникновения в тайны окружающего нас мира, можно сказать, что основным приемом исследования является формирование и изучение математических моделей реальных явлений. Исследуя какие-либо явления, ученый в первую очередь создает математическую идеализацию или, иначе говоря, математическую модель. Математическая модель есть не что иное, как запись основных законов, описывающих явление, в математической форме. И очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений, соотношений между функциями и их производными: в приложениях функции обычно представляют изменяющиеся величины, а производные описывают скорость их изменения. Такое выражение допускают модели многих явлений механики сплошных сред, химических реакций, фундаментальных физических взаимодействий, биологических и экономических процессов и так далее. 

Изучая полученные дифференциальные уравнения, исследователь извлекает полезные сведения о происходящих явлениях, часто может узнать их прошлое и предсказать будущее, получить качественные оценки происходящих в течение процесса изменений и даже открыть новые феномены, выдвинуть новые гипотезы, которые, быть может, приведут к более совершенным научным воззрениям и приоткроют завесу тайны окружающего мира. Таким образом, теория дифференциальных уравнений широко используется при решении научных проблем как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. 

Вместе с тем следует помнить, что математическая модель сама по себе является объектом и может обладать собственными свойствами, не имеющими отношения к моделируемому процессу. Модель не всегда адекватна конкретному явлению: так, например, из существования решения реальной задачи (существование наблюдаемого процесса обычно не вызывает сомнений ученых) не следует существование решения соответствующей математической задачи; или же может оказаться, что решений математической задачи много; или же решение неустойчиво к изменениям данных. Именно поэтому главной целью теории дифференциальных уравнений в первую очередь является изучение внутренне присущих свойств задач, сформулированных на языке дифференциальных уравнений: исследование их корректности, разрешимости, качественных и количественных характеристик решений, взаимосвязи и классификации. Несмотря на то, что изучением дифференциальных уравнений научное сообщество занимается уже несколько веков, цель эта в общем случае настолько трудна, что если некто наугад напишет произвольное дифференциальное уравнение, то с большой долей вероятности ни один математик в мире ничего не сможет про это уравнение сказать.  

В настоящее время теория дифференциальных уравнений представляет собой обширную и широко разветвленную теорию, находящуюся в постоянном взаимодействии с другими науками. Приложения снабжают ее новыми проблемами, решая которые, теория дифференциальных уравнений обращается к остальным разделам математики, таким как алгебра, функциональный анализ, теория функций, геометрия, теория вероятностей, вычислительная математика. В то же время прогресс в перечисленных разделах математики неизбежно приводит к достижениям в теории дифференциальных уравнений, что опять же дает толчок развитию приложений. Другими словами, как писала академик Ольга Арсеньевна Олейник, теория дифференциальных уравнений «лежит на перекрестке математических дорог», служит мостом между чистыми и прикладными науками, показывает направление новым веяниям фундаментальной науки на пути к приложениям, одновременно стимулируя совершенствование математического аппарата с оглядкой на прикладные нужды.  

Фото и изображение предоставлены исследователем. 

Источник: www.sbras.info

Источники

Что такое дифференциальные уравнения?
Наука в Сибири (sbras.info), 27/07/2021

Похожие новости

  • 15/06/2021

    Научный семинар «Прикладная гидродинамика»

    ​16 июня 2021 г. в 15:30 в конференц зале (108 к.) Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН с трансляцией онлайн состоится научный семинар «Прикладная гидродинамика» под руководством чл.
    267
  • 17/07/2019

    Академику Сергею Годунову исполняется 90 лет

    Сергей Константинович Годунов родился 17 июля 1929 года в Москве. В 1951 году окончил механико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Далее в 1951-1953 гг.
    1001
  • 28/02/2016

    С 29 февраля по 2 марта в Новосибирске пройдет Всероссийская конференция «Нелинейные волны: теория и новые приложения»

    ​Всероссийская конференция «Нелинейные волны: теория и приложения» приурочена к 70-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Владимира Михайловича Тешукова, возглавлявшего ИГиЛ СО РАН с 2004 по 2008 гг.
    2923
  • 17/08/2016

    В Новосибирске пройдет Вторая международная конференция «Математическая гидродинамика»

    Новосибирский государственный университет совместно с Институтом гидродинамики СО РАН (зеркальная лаборатория нелинейных процессов в гидродинамических системах) проводят 22–27 августа вторую Международную конференцию «Математическая гидродинамика».
    4436
  • 19/11/2020

    Академик Лаврентьев — наставник и учитель

    ​Как известно из воспоминаний современников, академик Михаил Алексеевич Лаврентьев на протяжении всего периода своей активной организационной деятельности особое внимание уделял молодому поколению. Он развивал в Сибири систему образования: школьные олимпиады — физматшкола — университет — исследовательский институт, направленную именно на воспитание будущих ученых с юного возраста.
    1735
  • 18/03/2019

    Евгений Ерманюк назначен врио директора Института гидродинамики СО РАН

    Евгений Ерманюк назначен врио директора Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН. Информация об этом появилась на сайте СО РАН 15 марта. Доктор физико-математических наук Евгений Ерманюк до недавнего времени занимал должность заместителя директора ИГиЛ СО РАН.
    1333
  • 22/01/2020

    IX Международная конференция, посвященная 120-летию со дня рождения академика Михаила Алексеевича Лаврентьева "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике"

    ​IX Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» посвящена 120-летию со дня рождения выдающегося русского математика и механика, организатора Сибирского отделения Российской академии наук, академика Михаила Алексеевича Лаврентьева.
    2756
  • 03/08/2020

    Красная книга Золотой Долины - к 120-летию со дня рождения академика М. А. Лаврентьева

    К 120-летию со дня рождения академика Михаила Лаврентьева «Ведомости» встречаются с людьми, знавшими его лично. Наша сегодняшняя гостья — Фаина Луговцова.​ Золотодлинский перекус: когда на обед жалко времени, а силы убывают​  ​​​​Мы продолжаем «лаврентьевскую серию» — встречаемся и рассказываем о людях, которые вместе с академиком Лаврентьевым жили в «финских бараках» в Золотой Долине и строили среди сибирской тайги Городок своей мечты.
    792
  • 18/09/2020

    Академик Михаил Алексеевич Лаврентьев: объединяя математику с жизнью

    В этом году исполняется 120 лет со дня рождения основателя Сибирского отделения РАН (АН СССР) Михаила Алексеевича Лаврентьева​. Его научный кругозор был огромен, он сделал множество открытий как в области математики, так и в механике, разглядел будущее вычислительной техники.
    1465
  • 29/10/2019

    Видеосеминар по математическому моделированию гидроразрыва пласта

    29 октября 2019 года в 11.00 по московскому времени состоялся видеосеминар по аэромеханике ЦАГИ — ИТПМ СО РАН — СПбГПУ — НИИМ МГУ, на котором профессор РАН Сергей Головин (Институт гидродинамики им. М.
    720